Mathematics / 数学

五岁的孩子知道各种形状的特点，数字意识和抽象思维能力都有增强。他们能够清点“20”以内的物品件数，做简单的加减法，辨认出一组数字中哪个数更大。五岁的孩子可以理解和应用与位置相关的词语，比如“在下面”或“在后面”。他们可以按先后顺序罗列事件，正在学习看时间；还可以根据多项属性来归类物品。

数字

• 有些孩子五岁时可能仍在理解“4”以内的数词（例如从“多”件物品中拿出1–4件；识别4以内的集合与相应的数字；索要4件物品；知道年龄；能够根据要求摆出“1、2、3、4” 件物品）。
• 有些孩子今年初还在学习如何数到“10”。不过多数五岁的孩子可以用表达“10”以上的单词准确地数到“20”（有些孩子可能直到六岁才能数到“20”）。部分小孩子能用重复模式准确数到“42”，多数小孩子能在今年下半年做到这一点（有些孩子可能直到六岁才能数到 “42”）。今年下半年，少数五岁的孩子能用重复模式准确数到“200”（多数孩子可以在六岁时数到“200”）。
• 今年初，少数孩子可能仍在想办法如何用一对一的计数法，或称为“枚举”，来确定包含至多5件物品的集合中的准确件数（即小孩子用计数序列中的不同数字标识集合中的不同物品，从而确定该集合中的物品总数）。不过多数五岁的孩子可以准确地枚举包含至多“10”件物品的集合。今年下半年，少数孩子甚至可以枚举“20”件物品（多数孩子可以在六岁时做到这一点）。此外少数孩子可能仍在认知用于计数（枚举）集合的最后一个数字具有特别的意义，因为它代表集合中的物品总数。
• 在回应口头上的要求时，有些孩子仍在学习如何准确地摆出包含至多“5”件物品的集合，而多数孩子可以摆出多达“10”件物品（有些孩子可能直到六岁才学会这项技能）。部分小孩子能够摆出多达“20”件物品的集合，多数五岁的小孩可以在今年下半年做到这一点（有些小孩在六岁时学会如何做到这一点）。
• 今年初，有些孩子可能仍在学习如何从不是“1”的数字开始逐一计数。
• 今年上半年，多数五岁的孩子可以说出“1–9”之间某个数之后的数字（例如“5的后面是多少？”），而无需提示之前的数列。有些孩子能够说出“10–40”之间某个数之后的数字，多数五岁的孩子可以在今年下半年做到这一点（有些孩子可能直到六岁才能做到这一点）。少数孩子能说出“29–99”之间某个数之后的数字，不过通常情况下小孩子到六岁时才能做到这一点，有些小孩子得等到七岁。
• 多数孩子在今年上半年能够说出“2–10”之间某个数之前的数字（例如“7的前面是多少？”）。有些孩子可能对于“29”以下的数字都没问题，多数五岁的孩子可以在今年下半年做到这一点（有些可能直到六岁才学会）。
• 今年上半年，也许有些孩子能够口头上从“5”或“10”往回数，不过多数孩子要到今年下半年才能这样做。少数孩子甚至可以从“20”倒数，不过多数孩子要等到六岁才学会如何做到这一点，有些孩子要等到八岁。
• 有些五岁的孩子在今年初可以10为间隔数到“100”，多数五岁的孩子在今年下半年可以做到这一点（有些孩子到六岁时才知道如何做到这一点）。
• 极少数五岁的孩子可以理解与估计相关的词语（例如“大约”、“将近”、“接近”、“之间”、“略小于”）。不过多数孩子到七岁才理解这些词语。
• 今年上半年，多数孩子能够合理地估计包含至多“5”件物品的集合中的数目（部分小孩子在今年晚些时候掌握此项技能），有些孩子甚至可能对包含至多“20”件物品的集合作出合理的估计。不过多数五岁的孩子要到今年下半年才能对至多“20”的集合作出合理的估计。有些孩子甚至可以对包含“100”件物品的集合作出合理的估计，但大多数孩子到六岁才发展起这项技能。
• 今年初，有些孩子能够正确地运用正式的关系术语（例如“大于”、“小于”、和“等于”）。多数孩子能够在今年下半年有效地运用这些术语，部分小孩子可能得等到七岁。
• 今年上半年，有些孩子可能仍在学习理解大数原则（计数序列中出现得越靠后的数字代表的数量越大），从而确定两个“10”以内的、在数列中分割较远的数字（例如“9”和“3”）哪一个更“多”。有些孩子能对“100”以内的数字作这样的比较处理，多数孩子能在今年下半年这样做，还有部分小孩子得等到六岁。同样在今年上半年，多数孩子能够确定两个“10”以内的、在数列中分割较远的数字（例如“9”和“3”）哪一个更“少”。部分小孩将在今年下半年明白如何做到这一点。
• 今年初，多数孩子会运用大数原则（计数序列中出现得越靠后的数字代表的数量越大）和数字后续知识，来确定从“1”到“5”的计数序列中两个“相邻的”数字（例如“3”和“4”）哪一个更“多”。有些孩子直到今年下半年才能够从“1”到“5”中作出判定，那时候多数孩子能够有效地在“10”以内作这种比较（例如“哪个数更多，‘7’还是‘8’？”）。也是在今年下半年，有些孩子能够确定“100”以内的两个“相邻的”数字哪一个更“多”（多数孩子在六岁时知道如何在“100”以内作那种判定）。
• 到今年下半年，多数孩子能够确定从“1”到“10”的计数序列中相邻的两个数字哪一个更“少”（例如“哪个数更少，‘7’还是‘8’？”），有些孩子在今年早些时候就理解如何这样做，而有些直到六岁才明白。与此同时，有些孩子能够确定从“1”到“100”的计数序列中相邻的两个数字哪一个更“少”，多数孩子能够在六岁做到这一点。
• 今年上半年，有些孩子能够凭借脑子里的一条数字线确定个位数字之间的相对接近（例如认识到“5”更接近“3”而不是“9”）。多数孩子在今年下半年发展起这种数字意识，有些则等到六岁。今年下半年，有些孩子还可以衡量两位数字之间的相对接近（例如认识到“63”比“32”更接近“77”）。多数孩子在六岁时有这种两位数的数字意识，有些则等到七岁。
• 今年初，少数孩子仍在学习如何理解和有效地运用序数词“首先”和“最后”。
• 今年初，多数孩子可以画图表，作记录，或用其它非正式的符号来代表口语中的数字（有些孩子可能直到六岁才知道如何做到这一点）。
• 极少数孩子可能会开始用非正式的、象征性的表示法（例如图表、记录等）来表示包含至多“9”件物品的集合（多数孩子可以在六岁做到这一点，但有些孩子直到七岁才可以）。
• 有些孩子可能仍在学习如何识别或读取数字“0”到“9”（例如能够在给出的5个数字中指出“3”，或者标识数字“3”为“三”）。多数孩子能够复制或书写数字“0”到“9”，不过有些孩子直到六岁才学会。今年上半年，多数孩子还可以把一些数字与数词及其代表的数量联系起来（例如用个位数字表示某个集合中的数量，判定两个数字中哪个更大，认识到“0”表示“没有”）。有些孩子在今年下半年学会这些联系。
• 这一整年中，有些孩子会明白数字可以在数轴上表示出来，虽然多数孩子在六岁明白这一点，有些在八岁。
• 今年下半年，有些孩子可能会不经意地表达两个集合是否相等。多数孩子在六岁时理解如何做到这一点。
• 今年晚些时候，有些孩子能够联系数词“一”到“九”与它们对应的发音和数字“1”到“9”，以及用它们来表示集合中的物品数量（多数孩子六岁时学会这项技能）。

数字运算

• 这一整年中，有些孩子仍在学习如何不说出口而只在脑子里确定“4”以内的和与差（例如“3+1”、“4-1”、“2+1”、“3-2”）。多数孩子能够不说出口而只在脑子里确定“5”以内的和（例如“2+3”）与差（例如“5-3”），虽然有些孩子要到六岁才明白如何做到这一点。
• 多数孩子能够应用非正规的知识来估算“10”以内的加法问题（例如为解答“3+2”，摆出4–6件物品以估算答案）或减法问题（例如对于“5-2”，摆出三个左右的物品以估算答案）。部分小孩子在六岁发展起这样的估算能力。
• 今年上半年，多数孩子可以用实在的点数策略来解决“10”以内的书面加法题（例如对于3个加2个的问题，小孩子摆出3件物品，再摆出2件物品，然后计数所有物品以确定答案），以及实在的拿走策略来解决相应的书面减法题（例如对于5个拿走2个的问题，摆出5件物品，去掉2件，然后清点剩下的3件物品以确定答案）。部分小孩子在六岁学会如何运用清点策略。
• 今年上半年，有些孩子可以应用各种不同的加法策略在脑子里确定“9”以内的和。多数孩子在今年下半年知道这些策略，部分小孩子在六岁掌握这些技能。
• 今年下半年，有些五岁的孩子可以应用更复杂抽象的点数策略来解决总和“18”以内的加法题（例如为解答“3+2”，口头计数“1、2、3，多1个是4，多2个是5”，可能用手指或其它物品跟踪记录“多1个”、“多2个”）。有些五岁的孩子可能会用到更先进的策略，从被加数开始计量而不是从“1”开始（例如为解决“3+2”，从“3”而不是“1”开始计数：“3，多1个是4，多2个是5”，可能用手指或其它物品跟踪记录“多1个”、“多2个”）。
• 今年上半年，有些孩子可以应用现有的知识和推理策略，符合逻辑地判定“18”以内的和与差，包括应用“加减恒等”原则（例如“n+0=n”、“n-0=n”），“数字后续”原则（例如“7+1”等于计数序列中的后一位8），以及两倍相加得偶数或以2跳跃计数的概念（例如“3+3=6”、“4+4=8”、“5+5=10”…）。多数孩子能在今年下半年应用这些推理策略。
• 这一整年中，有些五岁的孩子可能会想到，接近两倍是比两倍多1个或少1个，换句话说，它们的和是在两倍中间并且是“单数”，于是用这种方法来解决加法和减法问题（例如“7+6”比“6+6”多1个，即“13”）。五岁的孩子可能会用来解决加减法问题的另外一些策略包括对应“n-1”的“数字前移”原则（例如“6-1=5”、“5-1=4”），以及对应“n-n”的“抵消”原则（例如“6-6=0”、“5-5=0”）。多数孩子六岁时学会如何应用这些策略，有些延至七岁。
• 今年下半年，有些五岁的孩子可以通过运用“加法交换律”原则来解决加减法问题（例如因为“5+3=8”并且“5+3=3+5”，所以“3+5=8”）。多数孩子可以在六岁运用这样的推理策略，不过有些孩子得等到七岁。
• 今年上半年，多数孩子明白往集合中添加物品后，总和比起初更大。有些孩子可能直到六岁才理解这条概念。还有些孩子在解答加法问题时会认识到部分小于整体（例如布雷特有3块饼干。他妈妈又给他一些，现在他有5块饼干。布雷特的妈妈给了他几块饼干？）。此外，有些孩子在解答减法问题时会认识到整体大于它的组成部分（例如奇科有5块饼干。他吃掉一些，现在剩下3块。奇科吃掉了几块饼干？）。多数孩子在今年下半年会理解这些概念，而其他一些孩子会在六岁时学会这些。
• 今年上半年，有些孩子可以用多达10件物品操作“5”以内的数字配对（例如5=“1+4”、“2+3”、“3+2”、“4+1”），以及“10”以内的倍数配对（例如“3+3=6”）。多数孩子在今年下半年理解这些概念，但有些孩子要到六岁才学会这些。这一整年中，有些五岁的孩子还可能知道“10”以内的数字配对（例如“1+9”），尤其当“5”是一个配对数字时（例如“6=5+1”），以及“20”以内的倍数配对（例如“12=6+6”）。多数孩子在六岁发展起这种数字意识，部分小孩在七岁学会这方面的知识。
• 今年上半年，有些孩子会明白加法的“部分-整体”关系，能够不大严谨地解答“10”以内的基于“部分-部分-整体”的求和问题（例如德博拉有5块巧克力薄饼和3块姜味脆饼。她总共有多少块饼干？）。多数孩子在今年下半年明白这条概念，有些孩子直到六岁才明白。今年下半年，少数五岁的孩子还会认识到“加法交换律”原则（例如“3+6=6+3”）、“加减互补”原则（例如“5-3=”可以被当作“3+?=5”）、以及“逆向”原则（例如“5+3-3=5”）。多数孩子在六岁认识到这些原则，有些在八岁。
• 今年上半年，有些孩子仍在学习如何用几个小物件交换一件较大的物品（例如用四颗小糖果交换一块糖果条）。多数孩子可以将物品分为5个或10个一组，并且认识到数字的位置影响数值大小（例如认识到“23”和“32”不相同）。有些孩子会在六岁学习到这些概念。还有些孩子可以将较大的单元（特别是“10”和“100”）分解成较小的单元，将较小的单元组合成一个较大的单元。多数孩子能够在今年下半年做到这一点，部分小孩在六岁学会如何做到这一点。
• 今年上半年，有些孩子能够准确地读出小于“19”的多位数字。多数孩子能够在今年下半年做到这一点，部分小孩子在六岁。另有些孩子甚至能够准确地读出直到“99”的多位数字。多数孩子能够在六岁做到这一点。今年下半年，少数五岁的孩子可以准确地读出直到“999”的多位数字，不过多数孩子在七岁发展起这项技能，有些孩子直到八岁才学会。
• 这一整年中，有些孩子可能会写直到“99”的多位数字（例如将“二十四”写为“24”而不是“204”）。多数孩子能够在六岁做到这一点。
• 这一整年中，可能有少数五岁的孩子会认识到“1个十=10个一”。多数孩子到七岁明白这条概念，部分小孩子直到八岁才明白。
• 今年下半年，可能会有少数孩子能够以不同的形式有意义地表示“100”以内的多位数字，比如用数字分组/位值模型（例如认识到“27”中的“2”表示两个“十”，“7”表示七个“一”）。多数孩子七岁时明白这些概念，部分小孩子在八岁时学会。今年下半年，少数五岁的孩子可能会以这些不同的形式有意义地表示“1,000”以内的多位数字。多数孩子可以在八岁对于“1,000”以内的数字这样操作。
• 这一整年中，少数五岁的孩子能够在脑子里构建程序来解决多位数的加减法，将和与差看作“十”和“一”的混合体，对于“20”以内的和采用“10”作捷径（例如认识到“10+n”=“n+‘十’”，如“10+7=17”；还有“10+10=20”、“20-10=10”）。多数孩子在七岁懂得如何做到这一点，有些孩子在八岁。
• 今年下半年，少数五岁的孩子可能会构建或正确应用书面的加法程序，来解答两位数的加法题。多数孩子可以在八岁做到这一点。
• 今年下半年，少数五岁的孩子可能会应用分组/位值知识和首末端策略，对两位数作出合理的估计（例如“51+36+7”至少是“5个‘十’+3个‘十’，即80”）。多数孩子可以在八岁作出这样的估计。
• 这一整年中，有些孩子能够用不严谨的策略来解决“分配/公平分享”问题，将至多“10”件物品平分给两个或三个人（例如埃斯特和弗雷哈平分12块他们烘烤的饼干，可以分别得到多少块？）。多数孩子可以在六岁解决这些问题，有些孩子到七岁学会如何做到这一点。有些五岁的孩子还可以解决将至多“20”件物品平分给3–5人的问题。多数孩子在六岁理解如何做到这一点，部分小孩子在七岁。
• 今年下半年，有些孩子可以用不严谨的策略来解决“计量/公平分享”问题，将至多“20”件物品平均分成几份，每份2–5件（例如埃斯特和弗雷哈烘烤了12块饼干，每个袋子中放入3块，他们可以装好几个袋子？）。多数孩子可以在六岁解决这样的问题，还有些在七岁。
• 今年下半年，有些孩子可以用不严谨的策略来解决“分配/公平分享” 问题，将1–10个连续整体平分给2–5人（例如当4名小朋友平分2个比萨饼时，每人可以得到多少比萨饼？）。多数孩子可以在六岁解决这样的问题，部分小孩在八岁学会如何解决这些问题。
• 今年下半年，少数五岁的孩子可以口头上将两个中的一个标识为“一半”或“二分之一”。多数孩子可以在七岁标识出来，有些孩子在八岁学会如何做到这一点。

几何和空间感

• 今年上半年，有些孩子可能仍在学习如何认识并说出圆形、正方形、三角形、长方形的一些变化。这一整年中，少数五岁的孩子可以识别和说出任何大小和方向的圆形、正方形、三角形、长方形，包括不同形状的三角形和长方形。多数孩子可以在七岁做到这一点，有些在八岁。极少数孩子甚至可以识别并说出任何方向的多种形状，比如半圆、四边形、梯形、菱形、六边形等。多数孩子可以在八岁认识这些形状。还有些五岁的孩子可以用形状类别名进行分类和排序（例如当要求识别“圆”时，把各种不同的圆圈放置在垫子上，归在一起，但不放置正方形和三角形等其它形状）。多数孩子可以在六岁做到这一点，不过有些要到七岁。
• 今年上半年，有些孩子仍在学习如何建造、复制、及不严谨地描述二维形状。多数孩子可以在观察模型几秒钟后凭记忆复写出形状。部分小孩子会在六岁发展起这项技能。这一整年中，少数五岁的孩子能够准确形象地把二维形状展示出来，凭记忆绘制图形，包括代表“线路图”的几何路径（例如可以在脑子里构思，然后画出一列“火车”，或者由正方形、圆形、三角形构成的一排图形）。多数孩子可以在七岁做到这一点，有些在八岁。少数五岁的孩子还能够根据口头指引创建各种形状。多数孩子七岁时学会如何做到这一点，部分小孩子在八岁。
• 今年上半年，有些孩子仍在学习如何通过匹配相同形状和大小的物体来认识全等。在这一年中，有些五岁的孩子能够明确地界定“全等”为形状和大小完全相同。多数孩子在六岁学习这条定义，有些在七岁。有些五岁的孩子还能够匹配形状和部分形状来证明全等性。多数孩子在六岁理解如何做到这一点，部分小孩子在七岁。
• 这一整年中，有些孩子将会识别和计数图形的边线。多数孩子在六岁发展起这项技能，部分小孩子在七岁。
• 在这一年中，孩子们可以完成日益复杂的拼图（例如更小、片数多出许多的拼图），组合和拆解复杂形状的能力不断进步。孩子们还可以用多种物件（例如一个直角棱镜、一个正方体、几道拱门）搭建三维结构，画出包括两种以上几何形状的草图。
• 今年上半年，有些孩子可能仍在学习如何聚合不同的形状成为图画。多数孩子可以用其它形状覆盖原有形状的轮廓，不留空隙，先用试错法，然后靠预见能力。有些孩子在六岁学会如何做到这一点。今年下半年，部分孩子可能会组合不同的形状成为一个新的形状。多数孩子可以在六岁做到这一点，部分小孩子在七岁。
• 今年上半年，多数五岁的孩子可以拆解有明显拆解线索的简单的二维面板。有些孩子直到六岁才知道如何做到这一点。
• 今年上半年，有些孩子可以用单一形状搭建盖瓦结构（即用小面板覆盖一小块平面，两者之间没有空隙）。多数孩子可以在今年下半年用单一形状盖瓦，有些孩子得等到六岁。今年下半年，有些五岁的孩子可以用单一形状和组合形状盖瓦。多数孩子可以在六岁做到这一点，有些在七岁。
• 今年上半年，多数孩子能找到一些相互重叠但没有相互嵌入的“隐藏”的形状。有些孩子在六岁才能做到这一点。今年下半年，有些孩子能够找到“隐藏”在其它形状中的不同形状。多数孩子可以在六岁做到这一点，不过有些孩子要等到七岁。
• 今年上半年，有些五岁的孩子会理解和应用表示物理关系或位置的词语（例如“在上面”、“在下面”、“在旁边”、 “在前面”、“在后面”、“在里面”、“在外面”、“在中间”、“向上”、“向下”、“顶部”、“底部”、“前”、“后”、“近”、“远”、“左”、“右”）。多数孩子在今年下半年理解并应用这些词语，有些孩子在七岁。
• 在这一年中，多数孩子能够把玩具放到正确的相对位置上，从而做出一张房间布局图，还能够遵循简单的线路图（例如用课桌、讲台、窗户、和门的图片拼出一张教室布局图，然后用它作指引）。
• 今年上半年，有些五岁的孩子仍在学习如何垂直或水平定位物体。在这一年中，有些孩子会明白如何用坐标符号在简单的环境中定位物体或图片（例如在游戏中用网格定位船只、“战舰”）。多数孩子可以在六岁做到这一点，部分小孩子在七岁。
• 今年上半年，多数孩子可以非刻意地识别出某个精确的二维面板被转向、翻转、或移动，并且自己也会以这些方式移动面板。有些孩子直到六岁才会不经意地识别并以这些方式移动二维形状。
• 今年上半年，有些孩子仍在学习如何不精确地搭建对称性的二维形状和三维建筑。与此同时，有些孩子已经能够明确识别并构建各种对称性的形状。
• 这一整年中，少数五岁的孩子会认识到，当柔性物体或表面被折弯、扭曲、放大、缩小时，某些特性（例如封闭或开放空间、内部或外部位置、线条相交或不相交）不会改变，不过另外一些特性（例如长度和直线性）会改变。此外少数孩子可以不完全地认识到，没有孔、有一个孔、或两个孔的模板（分别归为“0、1、2类”物件）会仍旧保持没有孔或相同数量的孔，不管是被折弯、扭曲、放大、缩小（例如一块正方体的粘土被铸造成球形，然后抹平成饼状，所有状态下都属于“0类”物件；一块面圈形状的粘土被铸成杯子以后，仍然有一个穿通的孔，所以两者都属于“1类”物件）。孩子们将继续增进理解柔性物体或表面的几何特性直到八岁。
• 这一整年中，少数五岁的孩子可能会认识到，对于物体的影子，某些特性（例如直线性）不会改变，但另一些特性（例如长度）会改变。孩子们将继续增进理解投影几何学的这方面知识直到八岁。

测量

• 今年上半年，有些五岁的孩子仍在学习如何认识、非正规地讨论、用语言来描述各种属性，诸如“大”或“小”（高度/面积/体积），“长”、“高”、“短”（长度/高度），“重”或“轻”（重量），“快”或“慢”（速度）。
• 这一整年中，有些孩子仍在学习如何比较多件物品的某项属性（例如说：“她的蛋糕比我的大。”）。还有些孩子仍在学习如何从小到大排序（例如从矮到高站队，按大小顺序套叠杯子等），以及如何描述物体之间的关系（例如“大”、“更大”、“最大”）。
• 在整个一年中，孩子们继续发展他们的时间意识。有些五岁的孩子仍在学习如何复述季节和星期几，如何识别特定的时间与某些事件相联系（例如喜欢的电视节目在4:00开始）。今年下半年，典型的五岁孩子已经培养起很强的时间意识，知道周围的事情什么时候发生。他们知道星期几、月份、和季节，不过仍在学习如何看时间。有些孩子直到六岁才掌握这些概念。
• 这一整年中，有些五岁的孩子开始明白，除非有添加或移除，集合中的物品数量保持不变（守恒），即使这些物品的外表（如形状）发生变化。多数孩子在六岁理解这条“守恒定律”，部分小孩子在七岁掌握这条概念。
• 今年上半年，有些孩子可能仍在学习如何通过直接比较长度来解决问题（例如将两根棍并排在一起，看哪根更长）。同时有些孩子可能用绳或长纸条丈量物品，然后比较绳或纸条的长度，以确定哪件物品更长。多数孩子可以在今年下半年作出这样的传递比较，不过部分小孩直到六岁才知道如何这样做。
• 今年上半年，有些孩子可能仍在学习如何通过将一件物品放在另一件物品上面来比较面积。同时有些孩子在玩耍时可能直觉性地比较角度和“转”角多大。多数孩子在今年下半年做到这一点，有些在六岁。
• 在这一年中，有些五岁的孩子测量长度时会从头到尾摆放一个差不多相同长度的物件（例如回形针）。多数孩子在六岁时用这种方法测量，部分小孩子在七岁。今年下半年，有些孩子可能会用一条简单的尺子来测量物件。多数孩子可以在七岁使用尺子，部分小孩子在八岁。
• 今年上半年，有些孩子测量面积时会用非正规的小方块（例如“1×1”方块）覆盖表面，然后清点小方块数量（不一定以有序的方式）。多数孩子能在今年下半年做到这一点，部分小孩子将在六岁学会这种方法。
• 今年上半年，多数孩子可以作近似的比较和估计（例如说：“我跟黄色的书架一样高。”）。有些孩子会在六岁进行这种比较和估计。在这一年中，少数五岁的孩子会找一些常见的家什作为参照物来估算长度（例如门把手的顶端距离地面大约一米）。多数孩子七岁时发现这些参照物，有些孩子八岁时做到这一点。

模式、推理、代数

• 这一整年中，当别人清楚地说明做事情的顺序时，有些孩子开始理解这些顺序（例如父母说“我们首先堵住排水管，然后放水，最后洗澡。”）。此外有些孩子会认识到很多情况下的规律（例如多件事情之间、多种设计之间、多个形状之间、几组数字之间）。多数孩子很容易在六岁认识这些规律，有些孩子在八岁。
• 这一整年中，有些孩子可以识别简单重复图案的“核心”（即重复的基本序列或建筑模块），并通过重复核心来扩展模式（例如对于模式“红/蓝/红/蓝/红/蓝”，小孩子会添加“红/蓝”）。直到六岁孩子们的这项技能都会有不同程度的进步。同样的进步还体现在小孩子模仿有规律的声音和肢体动作（例如拍手、跺脚、拍手、跺脚…）。
• 这一整年中，有些五岁的孩子会认识到关于计数的渐进增长模式，在基本的算术序列中，每次加上“一”就得到下一个数字。由于这个过程在原理上可以永远继续下去，因此这种认识成就了“无限”的概念。多数孩子在六岁明白这些概念，部分小孩子在八岁发觉到。今年下半年，少数五岁的孩子还会认识到其它的等差数列，其中每次加上的数字不是 “一”（例如每次加上“二”的“2、4、6、8…”，每次加上“五”的“5、10、15、20…”等）。多数孩子七岁时明白这样的数列，部分小孩子在八岁。
• 这一整年中，有些孩子会意识到偶数概念（即一组物件可以两个人平分）和奇数概念（即两个人平分以后剩下一件）。多数孩子在六岁理解偶数和奇数，部分小孩子得等到七岁。今年下半年，少数五岁的孩子会认识到“矩形”数字，即可以排成至少两行的矩形要用到的小方块数量。多数孩子在八岁理解这些数字。同样在今年下半年，少数五岁的孩子可以领会整数概念（“正整数”表示存款、正电荷、数轴上“0”右边的数；“负整数” 表示欠款、负电荷、数轴上“0”左边的数）。多数孩子到八岁明白整数概念。
• 这一整年中，少数五岁的孩子可能会用字母来代表重复模式的“核心”（即重复的基本序列或建筑模块），最多可用到“三”个元素（例如用“ABC”表示“123123123…”）。多数孩子在八岁发展起这项技能。今年下半年，少数孩子还可以明确地认识到，同样的模式可以多种不同的方式表现出来（例如认识到“123123123…”、“哆来咪哆来咪哆来咪…”、“三角形/正方形/圆形/三角形/正方形/圆形/三角形/正方形/圆形…”全都是“ABC”重复模式的例子）。多数孩子在八岁明白这条概念。
• 这一整年中，少数五岁的孩子可能开始用童真语言总结“加法恒等”（例如说：“你没有添加任何东西，所以它仍然相同。”）、“减法恒等”（例如说：“你没有拿走任何东西，所以它仍然相同。”）、以及“减除否定”（例如说：“你全都拿走了；这里什么也没有。”）。多数孩子在八岁理解这些概念。同样在今年，有些孩子可以用代数表达方式归纳这些原则（例如用“n+0=n”表示加法恒等，用“n-0=n”表示减法恒等，用“n-n=0”表示减除否定）。今年下半年，少数孩子还可能在口头上总结出“加法交换律”（例如说：“你可以按照任何顺序加入数字。”）。多数孩子到八岁明白这条概念。还有少数孩子能够在口头上总结出“逆向原则”的概念（例如说：“你添加的和拿走的相同，所以结果仍然相同。”）。同样地，多数孩子在八岁认识到这条概念。
• 在整个一年中，少数五岁的孩子可能开始先用童真语言、然后用代数表达式或方程等式来概括实际的函数关系（例如“12英寸等于1英尺”）或人工模拟的关系（例如“输入输出”设备，其中规则可以基于输入和输出值来确定）。多数孩子到八岁明白这些概念，那时候他/她可能还会用代数缩写表示函数关系。
• 这一整年中，少数五岁的孩子可能开始认识到，寻找模式的行为可能是有用的解决问题的方法。他们还可以用模式来验证答案。不过这些孩子有可能想当然地认为，识别出的第一种模式必定是正确的答案。多数孩子会在七岁发展起这一思维过程，有些孩子在八岁。
• 今年下半年，少数孩子可能会用到估计方法，例如四舍五入、四舍五入到最近的十位数字等。多数孩子到七岁懂得如何运用这些方法，其他部分小孩子在八岁弄明白。
• 这一整年中，有些五岁的孩子仍在学习如何应用演绎推理（根据我们所知道的符合逻辑地推导出关于我们不知道的事物和结论）来解决日常问题（例如通过观察哪些小朋友在这里来推断出哪个小朋友缺席）。
• 这一整年中，有些孩子开始不再滥用任意规则（例如生造一个类别“因为我喜欢它”）来完成大人布置的分类任务。发展这方面能力的时候，这些孩子可以坚守一项特征（例如颜色、形状、大小）将物品分选到一组。有些孩子直到六岁才能够做到这一点。今年上半年，有些孩子可以根据一项或多项特征（例如颜色、大小等）进行排序和分类，并能清楚地说明为什么物品被放在一起。多数孩子能够在今年下半年以这种方式分类，部分小孩子在七岁发展起这些技能。
• 在整个一年中，有些孩子仍在学习如何“传递性地”推理（例如艾比比贝琪大，贝琪比夏琳大，所以艾比也比夏琳大）。今年上半年，有些孩子能够按时间顺序罗列事件。多数孩子能在今年下半年如此排序事件，不过部分小孩直到七岁才知道如何操作。
• 今年下半年，少数五岁的孩子能够根据同一行数据内的模式及加法推论符合逻辑地解决问题（例如在数列“3、4、5”中，下一个数会是“6”，因为之前的每个数都增加“一”）。多数孩子在七岁明白这些概念，部分小孩子在八岁弄明白。与此同时，少数五岁的孩子还能够根据不同行数据内的模式及加法推论符合逻辑地解决问题（例如对应输入值“1、2、3、4”，在输出数值“3、4、5、？”中，下一个值将是“6”，因为在前三种情况下，“2”加上输入值得到输出值）。多数孩子到八岁懂得如何推理这些类型的问题。
• 今年下半年，有些孩子能够根据已知数（脑子里的数值基准点或“5、10、100”在脑子里的映像）合理地估计集合中的数量，比如“17、24、78、125”。小孩子的这种估计能力会一直进步到七岁。
• 今年下半年，有些孩子会发展起“代数意识”，他们可以运用各种非正规的策略（例如画图时反复尝试和调整，并修改之前的工作）来解决代数问题。小孩子会持续发展这种“意识”直到八岁。
• 这一整年中，有些孩子会明白，“等于”符号在各种语境中和作比较时可以理解为“与…相同的数字”或“与…相同”（例如“12英寸=1英尺”、“10美分=1角”、“3=1+2”、“1+2=4-1”等）。小孩子会持续发展这方面的理解直到八岁。
• 今年下半年，有些五岁的孩子会明白“不同名称相同数字”的概念（例如“12=12+0、11+1、10+2、12-0、13-1、14-2…”）。小孩子会持续发展这方面的理解直到八岁。与此同时，有些五岁的孩子会把等号与“平衡木”类比，某一级平衡木的支点在视觉上代表“=”。这些孩子可以用这种类比来简化各种数学表达式。小孩子会持续发展对这种类比的理解直到八岁。

统计和概率

• 这一整年中，部分小孩子会认识到，有些问题、争议、分歧是“经验性问题”，不先收集数据则无法回答。同时小孩子知道如何收集相关的数据来解决问题，或用于决定个人的重要事务。
• 这一整年中，孩子们将学会整理和表述数据（例如通过构建正规图表或象形图表）以设法解答问题（例如家人中最常见的眼睛颜色是什么？），或决定个人的重要事务（例如哪家冰淇淋店的口味最多？）。
• 孩子们会发展起技能来读懂和理解正规图表或象形图表，获取其中归纳的所需要的信息，借以解决问题、作出预测、与其他人交流、或决定个人的重要事务。
• 孩子们会认识到，一些事情比另一些事情更有可能发生（例如冬天比夏天更可能下雪）。他们还能部分地理解和应用表达概率的语言词汇（例如“确定”或“肯定”、“不确定”或“不肯定”、“可能”或“很可能”、“不可能”或“不大可能”、“也许”、“大概”、“不见得”）。
• 孩子们可以做简单的实验，察看是否所有的参与者都有同样的机会赢得比赛，或者是通过实验来解决其它简单的概率问题。

Above contents are translated from / 以上内容译自
http://www.pbs.org/parents/childdevelopmenttracker/five/mathematics.html